2024年云南單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）「含答案」
2020年云南單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）【含答案】
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．已知集合S={1，2}，設(shè)S的真子集有m個，則m=（ ?。?/p>
A．4B．3C．2D．1
2．已知i為虛數(shù)單位，則
A．﹣
3．已知
A．
4．在（x﹣
A．﹣120B．﹣60C．60D．120
5．已知a，b，c，d都是常數(shù)，a＞b，c＞d，若f（x）=2019﹣（x﹣a）（x﹣b）的零點為c，d，則下列不等式正確的是（ ?。?/p>
A．a(chǎn)＞c＞b＞dB．a(chǎn)＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d
6．公元263年左右，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率π，他從圓內(nèi)接正六邊形算起，令邊數(shù)一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐個算出正六邊形，正十二邊形，正二十四邊形，…，正一百九十二邊形，…的面積，這些數(shù)值逐步地逼近圓面積，劉徽算到了正一百九十二邊形，這時候π的近似值是3.141024，劉徽稱這個方法為“割圓術(shù)”，并且把“割圓術(shù)”的特點概括為“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．劉徽這種想法的可貴之處在于用已知的、可求的來逼近未知的、要求的，用有限來逼近無窮，這種思想及其重要，對后世產(chǎn)生了巨大影響，如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，若運行改程序（參考數(shù)據(jù)：
A．48B．36C．30D．24
7．在平面區(qū)域
A．
8．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面積為1+
A．2B．3C．
9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ?。?p align="center">
A．12B．18C．24D．30
#p#分頁標題#e#10．已知常數(shù)ω＞0，f（x）=﹣1+2
A．
11．已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點都在表面積為16π的球O的球面上，AC為球O的直徑，當三棱錐P﹣ABC的體積最大時，設(shè)二面角P﹣AB﹣C的大小為θ，則sinθ=（ ?。?/p>
A．
12．拋物線M的頂點是坐標原點O，拋物線M的焦點F在x軸正半軸上，拋物線M的準線與曲線x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一個公共點，設(shè)A是拋物線M上的一點，若
A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．某校1000名高三學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)考試，這次考試考生的分數(shù)服從正態(tài)分布N（90，σ2），若分數(shù)在（70，110]內(nèi)的概率為0.7，估計這次考試分數(shù)不超過70分的人數(shù)為 人．
14．過雙曲線
15．計算
16．已知f（x）=
三、解答題（共5小題，滿分60分）
17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，當n≥2時，an=2anSn﹣2Sn2．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）是否存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k
18．云南省2020年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制，各登記劃分標準為：85分及以上，記為A等，分數(shù)在[70，85）內(nèi)，記為B等，分數(shù)在[60，70）內(nèi)，記為C等，60分以下，記為D等，同時認定等級分別為A，B，C都為合格，等級為D為不合格．
已知甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績，分別抽取50名學(xué)生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分別作出甲校如圖1所示樣本頻率分布直方圖，乙校如圖2所示樣本中等級為C、D的所有數(shù)據(jù)莖葉圖．
（1）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；
（2）在選取的樣本中，從甲、乙兩校C等級的學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生進行調(diào)研，用X表示所抽取的3名學(xué)生中甲校的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
19．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中點，AB=1，BC=2．
（1）求證：AM⊥SD；
（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值為
20．已知橢圓E的中心在原點，焦點F1、F2在y軸上，離心率等于
（1）求橢圓E的方程；
（2）做直線l與橢圓E交于兩個不同的點M、N，如果線段MN被直線2x+1=0平分，求l的傾斜角的取值范圍．
21．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，實數(shù)a是常數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1的定義域為（0，+∞）．
（1）設(shè)a=e，求函數(shù)f（x）在切點（1，f（1））處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=ln（ex+
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講]
22．已知直線L的參數(shù)方程為
（Ⅰ）直接寫出直線L的極坐標方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）過曲線C上任意一點P作與L夾角為
[選修4-5：不等式選講]
23．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定義域為實數(shù)集R．
（Ⅰ）當a=5時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞9；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集為A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍．
2020年云南單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）參考答案
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．已知集合S={1，2}，設(shè)S的真子集有m個，則m=（ ?。?/p>
A．4B．3C．2D．1
【考點】子集與真子集．
【分析】若集合A有n個元素，則集合A有2n﹣1個真子集．
【解答】解：∵集合S={1，2}，
∴S的真子集的個數(shù)為：22﹣1=3．
故選：B．
2．已知i為虛數(shù)單位，則
A．﹣
【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．
【解答】解：∵
∴
故選：C．
3．已知
A．
【考點】平面向量數(shù)量積的運算．
【分析】根據(jù)條件對
【解答】解：根據(jù)條件：
=
=4；
∴
∴
=9﹣（﹣21）+16
=46；
∴
故選：A．
4．在（x﹣
A．﹣120B．﹣60C．60D．120
【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．
【分析】利用通項公式即可得出．
【解答】解：通項公式Tr+1=
令10﹣2r=4，解得r=3．
∴x4的系數(shù)等于﹣
故選：A
5．已知a，b，c，d都是常數(shù)，a＞b，c＞d，若f（x）=2019﹣（x﹣a）（x﹣b）的零點為c，d，則下列不等式正確的是（ ?。?/p>
A．a(chǎn)＞c＞b＞dB．a(chǎn)＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d
【考點】函數(shù)的零點．
【分析】由題意設(shè)g（x）=（x﹣a）（x﹣b），則f（x）=2019﹣g（x），由函數(shù)零點的定義求出對應(yīng)方程的根，畫出g（x）和直線y=2019的大致圖象，由條件和圖象判斷出大小關(guān)系．
【解答】解：由題意設(shè)g（x）=（x﹣a）（x﹣b），則f（x）=2019﹣g（x），
所以g（x）=0的兩個根是a、b，
由題意知：f（x）=0的兩根c，d，
也就是g（x）=2019的兩根，
畫出g（x）（開口向上）以及直線y=2019的大致圖象，
則與f（x）交點橫坐標就是c，d，
f（x）與x軸交點就是a，b，
又a＞b，c＞d，則c，d在a，b外，
由圖得，c＞a＞b＞d，
故選D．
6．公元263年左右，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率π，他從圓內(nèi)接正六邊形算起，令邊數(shù)一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐個算出正六邊形，正十二邊形，正二十四邊形，…，正一百九十二邊形，…的面積，這些數(shù)值逐步地逼近圓面積，劉徽算到了正一百九十二邊形，這時候π的近似值是3.141024，劉徽稱這個方法為“割圓術(shù)”，并且把“割圓術(shù)”的特點概括為“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．劉徽這種想法的可貴之處在于用已知的、可求的來逼近未知的、要求的，用有限來逼近無窮，這種思想及其重要，對后世產(chǎn)生了巨大影響，如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，若運行改程序（參考數(shù)據(jù)：
A．48B．36C．30D．24
【考點】程序框圖．
【分析】列出循環(huán)過程中S與n的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)．
【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得：
n=6，S=3sin60°=
不滿足條件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，
不滿足條件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，
滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24．
故選：D．
#p#分頁標題#e#
7．在平面區(qū)域
A．
【考點】幾何概型．
【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)概率的幾何概型的概率公式進行計算即可得到結(jié)論．
【解答】解：作出不等式組
對應(yīng)的圖形為△OAB，其中對應(yīng)面積為S=
若f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
則滿足a＞0且對稱軸x=﹣
即
由
解得
∴對應(yīng)的面積為S1=
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為
故選：B．
8．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面積為1+
A．2B．3C．
【考點】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．
【分析】已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出tanB的值，確定出B的度數(shù)，利用三角形面積公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．
【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=
∵S△ABC=
∴ac=4+2
由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣
∴b的最小值為2．
故選：A．
9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ?。?p align="center">
A．12B．18C．24D．30
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．
【分析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，切去一個三棱錐所得的組合體，進而得到答案．
【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，切去一個三棱錐所得的組合體，
其底面面積S=
棱柱的高為：5，棱錐的高為3，
故組合體的體積V=6×5﹣
故選：C
#p#分頁標題#e#
10．已知常數(shù)ω＞0，f（x）=﹣1+2
A．
【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．
【分析】將函數(shù)f（x）化簡成只有一個函數(shù)名，對稱中心得到對稱軸的距離的最小值為
【解答】解：由f（x）=﹣1+2
化簡可得：f（x）=
∵對稱中心得到對稱軸的距離的最小值為
∴T=π．
由
可得：ω=1．
f（x0）=
∵
∴
∴sin（2x0+
∴cos（2x0+
那么：cos2x0=cos（2x0+
故選D
#p#分頁標題#e#
11．已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點都在表面積為16π的球O的球面上，AC為球O的直徑，當三棱錐P﹣ABC的體積最大時，設(shè)二面角P﹣AB﹣C的大小為θ，則sinθ=（ ?。?/p>
A．
【考點】二面角的平面角及求法．
【分析】AC為球O的直徑，當三棱錐P﹣ABC的體積最大時，△ABC為等腰直角三角形，P在面ABC上的射影為圓心O，過圓心O作OD⊥AB于D，連結(jié)PD，則∠PDO為二面角P﹣AB﹣C的平面角．
【解答】解：如圖所示：由已知得球的半徑為2，
AC為球O的直徑，當三棱錐P﹣ABC的體積最大時，△ABC為等腰直角三角形，P在面ABC上的射影為圓心O，
過圓心O作OD⊥AB于D，連結(jié)PD，則∠PDO為二面角P﹣AB﹣C的平面角，
在△ABC△中，PO=2，OD=
故選：C
12．拋物線M的頂點是坐標原點O，拋物線M的焦點F在x軸正半軸上，拋物線M的準線與曲線x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一個公共點，設(shè)A是拋物線M上的一點，若
A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．
【分析】先求出拋物線的焦點F（1，0），根據(jù)拋物線的方程設(shè)A（
【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化為（x﹣3）2+（y+2）2=16，圓心坐標為（3，﹣2），半徑為4，
∵拋物線M的準線與曲線x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一個公共點，
∴3+
∴F（1，0），
設(shè)A（
則
由
故選B．
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．某校1000名高三學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)考試，這次考試考生的分數(shù)服從正態(tài)分布N（90，σ2），若分數(shù)在（70，110]內(nèi)的概率為0.7，估計這次考試分數(shù)不超過70分的人數(shù)為 325 人．
【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．
【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性結(jié)合已知求得P（X≤70），乘以1000得答案．
【解答】解：由X服從正態(tài)分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，
得P（X≤70）=
∴估計這次考試分數(shù)不超過70分的人數(shù)為1000×
故答案為：325．
#p#分頁標題#e#
14．過雙曲線
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．
【分析】設(shè)出雙曲線的右焦點和漸近線方程，令x=c，聯(lián)立方程求出A，B，C，D的坐標，結(jié)合距離關(guān)系和條件，運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，進行求解即可．
【解答】解：設(shè)雙曲線
當x=c時代入雙曲線
則AB=
將x=c代入y=±
則|CD|=
∵|AB|≥
∴
則b2=c2﹣a2≥
即
則e2=
則e≥
故答案為：[
15．計算
【考點】三角函數(shù)的化簡求值．
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡cos（﹣100°）=﹣sin10°，同角三角函數(shù)關(guān)系式1﹣sin10°=sin25°+cos25°﹣2sin5°cos5°代入化簡．根據(jù)兩角和與差的公式可得答案．
【解答】解：由
故答案為：
16．已知f（x）=
【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．
【分析】由題意可得f（x）為偶函數(shù)，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．由不等式f（x﹣1）＜f（2x+1），可得|x﹣1|＜|2x+1|，由此求得x的范圍．
【解答】解：∵已知f（x）=
∴滿足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）為偶函數(shù)，
f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
若f（x﹣1）＜f（2x+1），則|x﹣1|＜|2x+1|，
∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，
故答案為：{x|x＞0，或x＜﹣2}．
三、解答題（共5小題，滿分60分）
17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，當n≥2時，an=2anSn﹣2Sn2．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
#p#分頁標題#e#（2）是否存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k
【考點】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式．
【分析】（1）由數(shù)列的性質(zhì)對其經(jīng)行變形整理出可以判斷數(shù)列為等差數(shù)列的形式即可，求出Sn，再根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1，即可求出數(shù)列的通項公式，
（2）先構(gòu)造函數(shù)f（n）并判斷其單調(diào)性，然后再由函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)恒成立的，求出參數(shù)k的取值范圍．
【解答】解：（1）∵當n≥2時，an=2anSn﹣2Sn2，
∴an=
∴（Sn﹣Sn﹣1）（2Sn﹣1）=2Sn2，
∴Sn﹣Sn﹣1=2SnSn﹣1，
∴
∴數(shù)列{
∴
∴Sn=
∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=
∵a1=S1=1，
∴an=
（2）設(shè)f（n）=
則
∴f（n）在n∈N*上遞增，
要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，
∵f（n）min=f（1）=
∴0＜k≤
18．云南省2020年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制，各登記劃分標準為：85分及以上，記為A等，分數(shù)在[70，85）內(nèi)，記為B等，分數(shù)在[60，70）內(nèi)，記為C等，60分以下，記為D等，同時認定等級分別為A，B，C都為合格，等級為D為不合格．
已知甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績，分別抽取50名學(xué)生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分別作出甲校如圖1所示樣本頻率分布直方圖，乙校如圖2所示樣本中等級為C、D的所有數(shù)據(jù)莖葉圖．
（1）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；
（2）在選取的樣本中，從甲、乙兩校C等級的學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生進行調(diào)研，用X表示所抽取的3名學(xué)生中甲校的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點】離散型隨機變量的期望與方差；莖葉圖；離散型隨機變量及其分布列．
【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)可得x，進而定點甲校的合格率．由莖葉圖可得乙校的合格率．
#p#分頁標題#e#（2）甲乙兩校的C等級的學(xué)生數(shù)分別為：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．
甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，
乙校的合格率P2=
可得：甲乙兩校的合格率相同，都為96%．
（2）甲乙兩校的C等級的學(xué)生數(shù)分別為：0.012×10×50=6，4人．
X=0，1，2，3．
則P（X=k）=
∴X的分布列為：
X ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ?P ?
E（X）=0+1×
19．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中點，AB=1，BC=2．
（1）求證：AM⊥SD；
（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值為
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面垂直的性質(zhì)．
【分析】（1）推導(dǎo)出SM⊥BC，SM⊥AM，由勾股定理得AM⊥DM，從而AM⊥平面DMS，由此能證明AM⊥SD．
（2）以M為原點，MC為x軸，MS為y軸，過M作平面BCS的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出四棱錐S﹣ABCD的體積．
【解答】證明：（1）∵SB=SC，M是BC的中點，∴SM⊥BC，
∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，
∴SM⊥平面ABCD，
∵AM?平面ABCD，∴SM⊥AM，
∵底面ABCD是矩形，M是BC的中點，AB=1，BC=2，
∴AM2=BM2=
∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，
∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，
∵SD?平面DMS，∴AM⊥SD．
解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M為原點，MC為x軸，
MS為y軸，過M作平面BCS的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)SM=t，則M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），
A（﹣1，0，1），
設(shè)平面ABS的法向量
則
設(shè)平面MAS的法向量
則
設(shè)二面角B﹣SA﹣M的平面角為θ，
∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值為
∴sinθ=
∴cosθ=
∵SM⊥平面ABCD，SM=
∴四棱錐S﹣ABCD的體積：
VS﹣ABCD=
20．已知橢圓E的中心在原點，焦點F1、F2在y軸上，離心率等于
（1）求橢圓E的方程；
（2）做直線l與橢圓E交于兩個不同的點M、N，如果線段MN被直線2x+1=0平分，求l的傾斜角的取值范圍．
【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系．
【分析】（1）由題意可知：設(shè)橢圓的標準方程，c=
（2）假設(shè)存在直線l，設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合根的判別式，即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意可知：設(shè)題意的方程：
e=
則m+n=2a，
線段PF1為直徑的圓經(jīng)過F2，則PF2⊥F1F2，
則n2+（2c）2=m2，
9m?n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=
則b=
∴橢圓標準方程：
（2）假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被x=﹣
∴直線l的斜率存在．
設(shè)直線l：y=kx+m，則
由
∵l與橢圓交于不同的兩點M，N，
∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①
#p#分頁標題#e#設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=﹣∴
把②代入①式中得（
∴k＞
∴直線l傾斜角α∈（
21．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，實數(shù)a是常數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1的定義域為（0，+∞）．
（1）設(shè)a=e，求函數(shù)f（x）在切點（1，f（1））處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=ln（ex+
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）設(shè)F（x）=ex﹣x﹣1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為x＞0時，ex+
【解答】解：（1）a=e時，f（x）=ex﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，
f′（x）=ex﹣e，可得f′（1）=0，
故a=e時，函數(shù)f（x）在切點（1，f（1））處的切線方程是y=﹣1；
（2）f（x）=ex﹣ax﹣1，f′（x）=ex﹣a，
當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調(diào)遞增；
當a＞0時，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，
則f（x）在（﹣∞，lna]上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）設(shè)F（x）=ex﹣x﹣1，則F′（x）=ex﹣1，
∵x=0時，F(xiàn)′（x）=0，x＞0時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）在[0，+∞）遞增，
∴x＞0時，F(xiàn)（x）＞F（0），化簡得：ex﹣1＞x，
∴x＞0時，ex+
設(shè)h（x）=xex﹣ex﹣
則h′（x）=x（ex﹣ex），
設(shè)H（x）=ex﹣ex，H′（x）=ex﹣e，
由H′（x）=0，得x=1時，H′（x）＞0，
x＜1時，H′（x）＜0，
∴x＞0時，H（x）的最小值是H（1），
x＞0時，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，
∴h′（x）≥0，可知函數(shù)h（x）在（0，+∞）遞增，
∴h（x）＞h（0）=0，化簡得ex+
∴x＞0時，x＜ex+
∴x＞0時，lnx＜ln（ex+
即0＜ln（ex+
即x＞0時，0＜g（x）＜x，
當a≤1時，由（2）得f（x）在（0，+∞）遞增，
得f（g（x））＜f（x）滿足條件，
當a＞1時，由（2）得f（x）在（0，lna）遞減，
∴0＜x≤lna時，f（g（x））＞f（x），與已知?x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，
綜上，a的范圍是（﹣∞，1]．
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講]
22．已知直線L的參數(shù)方程為
（Ⅰ）直接寫出直線L的極坐標方程和曲線C的普通方程；
#p#分頁標題#e#（Ⅱ）過曲線C上任意一點P作與L夾角為
【考點】簡單曲線的極坐標方程．
【分析】（Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫出直線L的極坐標方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）曲線C上任意一點P（cosθ，2sinθ）到l的距離為d=
【解答】解：（Ⅰ）直線L的參數(shù)方程為
曲線C的極坐標方程為ρ=
（Ⅱ）曲線C上任意一點P（cosθ，2sinθ）到l的距離為d=
則|PA|=
當sin（θ+45°）=﹣1時，|PA|取得最大值，最大值為
[選修4-5：不等式選講]
23．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定義域為實數(shù)集R．
（Ⅰ）當a=5時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞9；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集為A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍．
【考點】絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）當a=5，把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得B?A，區(qū)間B的端點在集合A中，由此求得a的范圍．
【解答】解：（Ⅰ）當a=5時，關(guān)于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，
故有
解①求得x＜﹣6；解②求得x∈?，解③求得x＞3．
綜上可得，原不等式的解集為{x|x＜﹣6，或x＞3}．
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集為A，
B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2}，如果A∪B=A，則B?A，
∴
故實數(shù)a的范圍為[﹣1，0]．
